参考地址：
[0-1背包问题的动态规划算法](https://zhuanlan.zhihu.com/p/30959069)
[01背包问题 图解+详细解析 （转载）](https://blog.csdn.net/qq_37767455/article/details/99086678)
[背包九讲——全篇详细理解与代码实现](https://blog.csdn.net/yandaoqiusheng/article/details/84782655/)

### 1、通过递归的方式实现
递归的理解：

理解这边的参数 bagItemList代表所有的物品(包含重量和价值) 、 index表示当前要装入背包的物品的位置 -- 第一二个参数组成了当前要装入背包的物品信息

第三个参数表示 当前剩余的背包容量，也就是说对于当前index位置的物品来说，此时还有多少容量剩余.

结束条件是 所有物品都尝试装入完毕  或者  当前容量小于0，没办法再装入其他道具.

算法的整个过程表现为：尝试装入第index位置的道具，当前容量是减去之前装入道具重量后剩余的容量

假设我们这么理解，从最后一个道具去装(本质上没有顺序)，这个时候背包容量是原始容量.如果道具重量非常大，不满足背包容量，则这个道具压根没办法装入，不管他.

这边有两种情况，一个是装入index位置的道具，一个是不装入index位置的道具.

不装index位置的道具，则这个时候容量是背包最大的容量，如果装入index位置的道具，则背包容量变小，留给index-1位置的容量就是 （背包容量 - index位置重量）

对于不装index位置的道具，最大价值是前index-1个道具的最优解，而装入index位置的道具，拿到的就是前index个道具的最优解

以此类推。我们取这两个值的max，就可以保证递归回来的时候拿到的永远是最优解.
![](/.readme_images/递归解背包问题.jpg)


### 2、通过动态规划的方式实现

通过动态规划的方式来解答背包问题，这边需要在背包道具初始化的时候去创建一个辅助数组
也就是说数组的展示方式是按照下面的方式进行处理的。

也就是说这边的横坐标是背包的容量。

纵坐标是当前拥有的道具的数量，道具按照顺序去增加，也就是说当道具数量为1的时候，
这个时候拥有第一个道具，道具数量为2的时候，这个时候拥有第二个道具，
这么处理是为了实现当容量在一定数量的情况下，拥有n个道具能达到的最优解是多少。
也就是我们在递归里面看到的，index位置的道具比较的是  
max(前index-1个道具的最优解,index位置的道具 + 减去index位置重量的前index-1个道具的最优解)


![](/.readme_images/动态规划解背包问题.png)


### 3、动态规划(一维数组简化空间复杂度)
一维数组实现背包求解同样需要辅助列，也就是当背包容量为0，作为辅助列,数组的长度是背包容量+1，分表表示容量为0、1、2、3...最大容量

从第一个道具开始到最后一个道具计算，每次分成两种情况，一个是装入该道具，一个是不装入该道具.

装入该道具的时候：计算的总价值是 当前道具价值 + List[当前容量 - 道具重量]

不装入该道具的时候：计算的总价值就是原来数组的价值，即 List[当前容量]

从第一个道具开始，一旦小于该道具价值，表示道具没办法装入该容量的背包的时候,停止计算。第二个道具在计算的时候同样是分成两种情况，
计算得到的值就是第一个道具放入与不放入两种情况中的最优解，同理一直到最后一个道具为止

计算结束，返回的List[背包总容量]表示的就是在背包总容量的情况下的最优解

这种方式虽然简化了存储空间，但是也因为覆盖对应的数据，导致如果要查找对应的道具最优解路径没办法完整还原。

![](/.readme_images/动态规划解背包问题(优化数组).jpg)